В физике есть задачи, про которые неизвестно, как записать в виде сходящейся суммы. Насколько я знаю, сила Казимира - одна из них. По крайней мере, когда я искал, как про это рассказать второкурсникам - я более реалистичного варианта не нашел.

>решается задача для «общего» случая, а потом устремляют значение параметра к пределу.
Во-во. Именно в таких случаях (при том, что если сразу устремить к пределу - получим бесконечность), и говорят о перенормировке и регуляризации.