Продолжить последовательность

[pashap]

На только что прошедшем "Лабиринте" для вскрытия тайников требовалось решать задачки - в большинстве случаев типа "продолжить последовательность". Я эти задачки собирал из разных мест и придумывал сам. Понятно, на большую их часть можно найти ответ при помощи поисковиков - но это не всегда легко и просто, а на игре интернета не было. В общем, кому интересно - выкладываю их тут. Комменты скрываю, ответы дам через несколько дней. Комменты открыты, ответы дал в следующем посте.

№1. 4 15 14 1 ?
№2.
№3. 3.5 4 7 14 49 ?
№4. 2 3 3 5 10 13 39 43 ?
№5. 61 52 63 94 ?
№6. 16 24 36 54 ?
№7. 16 23 28 38 49 62 ?
№8. 679 378 168 48 32 ?
№9. 4 16 37 58 89 145 ?
№10. 1 1 1 3 5 9 17 31 ?
№11. 7 9 3 7 1 7 ?
№12. 1 3 6 11 18 29 42 ?
№13. 12 14 18 26 38 62 ?
№14. 0 1 2 4 7 12 20 33 ?
№15. 1 1 3 2 5 4 7 8 9 16 ?
№16. 42 62 92 33 83 44 ?
№17. 41 12 82 53 24 ?
№18. 5 20 12 17 19 14 26 11 ?
№19. 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37 ?
№20. 38 46 226 234 ?
№21. 2 4 3 6 7 9 13 16 22 29 ?
№22. 1 3 8 19 42 89 ?
№23. 1 3 5 4 8 9 12 17 21 ?
№24. 1 1 2 3 6 9 24 27 ?
№25. 972 875 788 710 639 ?
№26. 343 536 373 839 404 ?
№27. 2 8 20 28 50 ?
№28.

Дополнительно выкладываю три последовательности, найденные на каком-то сайте с головоломками - их я не смог ни решить, ни найти решение. Возможно, там просто какая-то опечатка, но кто его знает. Если кто-нибудь найдет ответ - буду благодарен.
№29. 13 1 20 8 5 13 1 20 9 ? 19 - возникла правдоподобная гипотеза, что это порядковые номера букв в слове "mathematics"
№30. 111 21 13 12 11 10 7 ? - ответ дан в комментах, их я раскрыл.
№31. 3779 13223 18 ?

Comments

[gegmopo4.livejournal.com]

Картинки:

№2. Как уже упомянули, сумма бесконечного ряда расходится. Частная же сумма равна $ \sun_{n=1}^m (-1)^n n = ((-1)^m (2 m + 1) - 1) / 4 $ (как видно, предел при m→∞ не существует).
№28. 1/(1×3)+1/(3×5)+1/(5×7)+… = ((1/1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+…)/2 = 1/2

[pashap.livejournal.com]

№2 - тут нужна была сумма расходящегося ряда. Есть способы :)

[gegmopo4.livejournal.com]

Да, сумма ряда $ n q^n $ равна $ (1 - (1-q) n q^n - q^n) q / (1-q)^2 $, что в пределе n→∞ даёт $ q / (1-q)^2 $, что, в свою очередь, в пределе q→∞ равно -1/4. Но где-то здесь мошенничество.

[pashap.livejournal.com]

Мошенничество, конечно. :)))
Но подобное мошенничество позволяет получить результат, который проверяется экспериментально :)

[gegmopo4.livejournal.com]

Как это, экспериментально? Сумма целых чисел, а результат — дробный.

Подозреваю, что дело в определении лимита. Но матан давно был, таких тонкостей не помню.

[pashap.livejournal.com]

Я в ответах написал - так считают экспериментально измеримую силу Казимира, образованную разницей давлений вакуумных флуктуаций электромагнитного поля с двух сторон от металлической пластины. Там возникает разность между расходящимся рядом (1^3+2^3+3^3+...) и настолько же расходящимся интегралом, и вычисление суммы расходящегося ряда таким образом является следствием регуляризации.

Матан тут не при чем, теория расходящихся рядов в него не входит. Кажется, я с ней знакомился (именно знакомился, не буду говорить, что я ее знаю) по книжке Харди.

[gegmopo4.livejournal.com]

Подозреваю, что это всего лишь форма условия задачи. Наверняка можно записать в виде сходящейся суммы, просто не так удобно будет подсчитать, использовав математический трюк.

Вот совсем из головы вылетело, используется такой приём — решается задача для «общего» случая, а потом устремляют значение параметра к пределу.

[pashap.livejournal.com]

В физике есть задачи, про которые неизвестно, как записать в виде сходящейся суммы. Насколько я знаю, сила Казимира - одна из них. По крайней мере, когда я искал, как про это рассказать второкурсникам - я более реалистичного варианта не нашел.

>решается задача для «общего» случая, а потом устремляют значение параметра к пределу.
Во-во. Именно в таких случаях (при том, что если сразу устремить к пределу - получим бесконечность), и говорят о перенормировке и регуляризации.