Продолжить последовательность

[pashap]

На только что прошедшем "Лабиринте" для вскрытия тайников требовалось решать задачки - в большинстве случаев типа "продолжить последовательность". Я эти задачки собирал из разных мест и придумывал сам. Понятно, на большую их часть можно найти ответ при помощи поисковиков - но это не всегда легко и просто, а на игре интернета не было. В общем, кому интересно - выкладываю их тут. Комменты скрываю, ответы дам через несколько дней. Комменты открыты, ответы дал в следующем посте.

№1. 4 15 14 1 ?
№2.
№3. 3.5 4 7 14 49 ?
№4. 2 3 3 5 10 13 39 43 ?
№5. 61 52 63 94 ?
№6. 16 24 36 54 ?
№7. 16 23 28 38 49 62 ?
№8. 679 378 168 48 32 ?
№9. 4 16 37 58 89 145 ?
№10. 1 1 1 3 5 9 17 31 ?
№11. 7 9 3 7 1 7 ?
№12. 1 3 6 11 18 29 42 ?
№13. 12 14 18 26 38 62 ?
№14. 0 1 2 4 7 12 20 33 ?
№15. 1 1 3 2 5 4 7 8 9 16 ?
№16. 42 62 92 33 83 44 ?
№17. 41 12 82 53 24 ?
№18. 5 20 12 17 19 14 26 11 ?
№19. 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37 ?
№20. 38 46 226 234 ?
№21. 2 4 3 6 7 9 13 16 22 29 ?
№22. 1 3 8 19 42 89 ?
№23. 1 3 5 4 8 9 12 17 21 ?
№24. 1 1 2 3 6 9 24 27 ?
№25. 972 875 788 710 639 ?
№26. 343 536 373 839 404 ?
№27. 2 8 20 28 50 ?
№28.

Дополнительно выкладываю три последовательности, найденные на каком-то сайте с головоломками - их я не смог ни решить, ни найти решение. Возможно, там просто какая-то опечатка, но кто его знает. Если кто-нибудь найдет ответ - буду благодарен.
№29. 13 1 20 8 5 13 1 20 9 ? 19 - возникла правдоподобная гипотеза, что это порядковые номера букв в слове "mathematics"
№30. 111 21 13 12 11 10 7 ? - ответ дан в комментах, их я раскрыл.
№31. 3779 13223 18 ?

Comments

[faucon.livejournal.com]

№10. 1 1 1 3 5 9 17 31 ?57

[randir-spb.livejournal.com]

Всегда ненавидел такие задачи. Непонятно, как их вообще решать.
В номере 2, наверное, должно быть (-1)^n / n, иначе ряд расходящийся.

[yashunsky.livejournal.com]

30ая нашлась на oeis (http://oeis.org/search?q=111%2C21%2C13%2C12%2C11%2C10%2C7&sort=&language=english&go=Search) ;)

[platovv.livejournal.com]

№30. 111 21 13 12 11 10 7 ?
Это записи числа 7 в разных системах счисления. 111 - в двоичной, 21 - в троичной. Соответственно последовательность продолжается 7, 7, 7, ...

[aywen.livejournal.com]

№6. 81

[rodny-arman.livejournal.com]

Интернет-таки был (в телефоне), только я честный :D

[rbcf.livejournal.com]

Для 31 возможен дуальный ответ 18+(13223-3779)=9462, и пусть теперь автор (или мастер) доказывает, что необходимо использовать другую логику и получить другой ответ. Слишком мало "букафф".

[aywen.livejournal.com]

№10. 57

[aywen.livejournal.com]

№12. 59

[gegmopo4.livejournal.com]

Вот что получилось на скорую руку:

№4. 2 3 3 5 10 13 39 43 172 (предыдущий член попеременно умножается или складывается с линейной последовательностью с шагом 1)
№6. 16 24 36 54 81 ($ 2^{4-i} 3^i $)
№10. 1 1 1 3 5 9 17 31 57 (сумма троих предыдущих, $ x_n = x_{n-1} + x_{n-2} + x_{n-3} $)
№11. 7 9 3 7 1 7 1 9 3 13 7… (разница попеременно -6 и возрастающая линейно с шагом 2)
№12. 1 3 6 11 18 29 42 59 (разница — последовательные простые)
№13. 12 14 18 26 38 62 98 (разница попеременно удваивается или сумма двух предыдущих)
№14. 0 1 2 4 7 12 20 33 54 (разница — числа Фибоначчи)
№16. 42 62 92 33 83 44 15 (сложение «с переносом» по модулю 100 линейной последовательности с шагом 10)
№17. 41 12 82 53 24 94 (как и в №16, но шаг — константа 70)
№19. 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37 49 ($ x_n = x_{n-1} + x_{n-5} $)
№20. 38 46 226 234 414 (разница попеременно 8 и 180)
№21. 2 4 3 6 7 9 13 16 22 29 38 (как и в №19)
№22. 1 3 8 19 42 89 204 ($ x_n = 3 x_{n-1} - 2 x_{n-2} + 1 = 3 2^n - n + 2 $)
№23. 1 3 5 4 8 9 12 17 21 29 (как и в №19)
№24. 1 1 2 3 6 9 24 27 120 (чётные увеличиваются на линейно возрастающий множитель)
№25. 972 875 788 710 639 576 ($ x_n = x_{n-1} - [x_{n-1}/10] $)
№26. 343 536 373 839 404 142 (игра с цифрами, долго объяснять)
№27. 2 8 20 28 50 60? (маловато данных)

Остальное подумаю.

Первая часть...

[burivykh.livejournal.com]

1. Мне рассказали -- сам бы я это не взял.
2. Минус одна четверть, взят на игре. :)
3. Половина произведения двух предыдущих, 343
4. плюс k-умножить на k; 172, взят на игре.
7. Плюс сумма цифр предыдущего, 70
8. Это мне рассказали: произведение цифр предыдущего, 6.
9. Только сейчас дошло: сумма квадратов цифр предыдущего, 42.
10. Сумма трёх предыдущих, 57. Кажется, видел на игре, но уже со знанием, что его взяли.
11. Стучу себя по лбу, как же я не догадался... Мне после игры рассказали.
12. Плюс последовательные простые, 59.
13. Плюс произведение цифр предыдущего, 74. Что ж я его на игре-то не взял?
14. Сумма двух предыдущих плюс один, 54.
20. Произведение цифр у всех по 24, видимо, упорядочено по возрастанию, и цифры тоже; единица запрещена. Тогда -- 2223?
25. Минус число из первых двух цифр, 576
28. 1/2


P.S. Паша: 4 3 3 6 4 5 4 ? :-P

[burivykh.livejournal.com]

26 -- ты после игры упоминал про острова стабильности; это, часом, не оно?
Остальные -- думаю. :)

[gegmopo4.livejournal.com]

Дополнение, лёгкое, пропущенное вчера:

№5. 61 52 63 94 145 (разница возрастает линейно с шагом 20)
№15. 1 1 3 2 5 4 7 8 9 16 11 (попеременно степень двойки и линейная с шагом 2)
№18. 5 20 12 17 19 14 26 11 33 (попеременно линейные с шагом 7 и -3)

[gegmopo4.livejournal.com]

Картинки:

№2. Как уже упомянули, сумма бесконечного ряда расходится. Частная же сумма равна $ \sun_{n=1}^m (-1)^n n = ((-1)^m (2 m + 1) - 1) / 4 $ (как видно, предел при m→∞ не существует).
№28. 1/(1×3)+1/(3×5)+1/(5×7)+… = ((1/1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+…)/2 = 1/2

[gegmopo4.livejournal.com]

И ещё:

№1. 4 15 14 1 8 (порядковые номера букв в слове donah)
№29. 13 1 20 8 5 13 1 20 9 3 19 (порядковые номера букв в слове mathematics)

[5-resident.livejournal.com]

В книге Пола Дэвиса "Супер сила" написано:

"Но если хотя бы немного усложнить формулу, то расшифровка кода становится непосильной задачей. Попробуйте, например, угадать, по какой формуле построена последовательность 2, 4, 6, 9, 12, 17, 20, 25, 28, 31, 34, ..."

Есть ли у данной последовательности единая формула, или это такая шутка автора?