Продолжить последовательность

[pashap]

На только что прошедшем "Лабиринте" для вскрытия тайников требовалось решать задачки - в большинстве случаев типа "продолжить последовательность". Я эти задачки собирал из разных мест и придумывал сам. Понятно, на большую их часть можно найти ответ при помощи поисковиков - но это не всегда легко и просто, а на игре интернета не было. В общем, кому интересно - выкладываю их тут. Комменты скрываю, ответы дам через несколько дней. Комменты открыты, ответы дал в следующем посте.

№1. 4 15 14 1 ?
№2.
№3. 3.5 4 7 14 49 ?
№4. 2 3 3 5 10 13 39 43 ?
№5. 61 52 63 94 ?
№6. 16 24 36 54 ?
№7. 16 23 28 38 49 62 ?
№8. 679 378 168 48 32 ?
№9. 4 16 37 58 89 145 ?
№10. 1 1 1 3 5 9 17 31 ?
№11. 7 9 3 7 1 7 ?
№12. 1 3 6 11 18 29 42 ?
№13. 12 14 18 26 38 62 ?
№14. 0 1 2 4 7 12 20 33 ?
№15. 1 1 3 2 5 4 7 8 9 16 ?
№16. 42 62 92 33 83 44 ?
№17. 41 12 82 53 24 ?
№18. 5 20 12 17 19 14 26 11 ?
№19. 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37 ?
№20. 38 46 226 234 ?
№21. 2 4 3 6 7 9 13 16 22 29 ?
№22. 1 3 8 19 42 89 ?
№23. 1 3 5 4 8 9 12 17 21 ?
№24. 1 1 2 3 6 9 24 27 ?
№25. 972 875 788 710 639 ?
№26. 343 536 373 839 404 ?
№27. 2 8 20 28 50 ?
№28.

Дополнительно выкладываю три последовательности, найденные на каком-то сайте с головоломками - их я не смог ни решить, ни найти решение. Возможно, там просто какая-то опечатка, но кто его знает. Если кто-нибудь найдет ответ - буду благодарен.
№29. 13 1 20 8 5 13 1 20 9 ? 19 - возникла правдоподобная гипотеза, что это порядковые номера букв в слове "mathematics"
№30. 111 21 13 12 11 10 7 ? - ответ дан в комментах, их я раскрыл.
№31. 3779 13223 18 ?

Comments

[faucon.livejournal.com]

№10. 1 1 1 3 5 9 17 31 ?57

[randir-spb.livejournal.com]

Всегда ненавидел такие задачи. Непонятно, как их вообще решать.
В номере 2, наверное, должно быть (-1)^n / n, иначе ряд расходящийся.

[pashap.livejournal.com]

Именно этим они и хороши для игры - тем, что нахождение ответа зависит не только от знаний, но и от случайности.

Никакой ошибки. Ряд действительно расходящийся.

[yashunsky.livejournal.com]

30ая нашлась на oeis (http://oeis.org/search?q=111%2C21%2C13%2C12%2C11%2C10%2C7&sort=&language=english&go=Search) ;)

[pashap.livejournal.com]

Круто. Но я все равно не понял, как именно возникает этот ряд.

[yashunsky.livejournal.com]

хм.. я, кстати, тоже. В смысле, что полез проверить указанную там формулу и что-то у меня не сошлось o_O

[pashap.livejournal.com]

Вот-вот :)

[platovv.livejournal.com]

№30. 111 21 13 12 11 10 7 ?
Это записи числа 7 в разных системах счисления. 111 - в двоичной, 21 - в троичной. Соответственно последовательность продолжается 7, 7, 7, ...

[pashap.livejournal.com]

Вау! Вот оно что. Теперь понятно, спасибо.

[pashap.livejournal.com]

Платов чуть ниже объяснил логику. Она есть по твоей ссылке - просто мы не поняли, куда смотреть.

[yashunsky.livejournal.com]

Ну да, надо было смотреть на заголовок :)

[aywen.livejournal.com]

№6. 81

[rodny-arman.livejournal.com]

Интернет-таки был (в телефоне), только я честный :D

[pashap.livejournal.com]

Ну да, я доверяю своим игрокам.
Кроме того, там далеко не по всем последовательностям можно было найти ответ на первой странице поисковика, и если это делать с телефона - оно займет ценное игровое время.

[rbcf.livejournal.com]

Для 31 возможен дуальный ответ 18+(13223-3779)=9462, и пусть теперь автор (или мастер) доказывает, что необходимо использовать другую логику и получить другой ответ. Слишком мало "букафф".

[pashap.livejournal.com]

Это не ответ - потому что одной и той же логикой должны описываться как минимум два члена ряда (а лучше - больше). Но чисел действительно мало - так что это или что-то очень красивое, или полная фигня.

[aywen.livejournal.com]

№10. 57

[aywen.livejournal.com]

№12. 59

[gegmopo4.livejournal.com]

Вот что получилось на скорую руку:

№4. 2 3 3 5 10 13 39 43 172 (предыдущий член попеременно умножается или складывается с линейной последовательностью с шагом 1)
№6. 16 24 36 54 81 ($ 2^{4-i} 3^i $)
№10. 1 1 1 3 5 9 17 31 57 (сумма троих предыдущих, $ x_n = x_{n-1} + x_{n-2} + x_{n-3} $)
№11. 7 9 3 7 1 7 1 9 3 13 7… (разница попеременно -6 и возрастающая линейно с шагом 2)
№12. 1 3 6 11 18 29 42 59 (разница — последовательные простые)
№13. 12 14 18 26 38 62 98 (разница попеременно удваивается или сумма двух предыдущих)
№14. 0 1 2 4 7 12 20 33 54 (разница — числа Фибоначчи)
№16. 42 62 92 33 83 44 15 (сложение «с переносом» по модулю 100 линейной последовательности с шагом 10)
№17. 41 12 82 53 24 94 (как и в №16, но шаг — константа 70)
№19. 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37 49 ($ x_n = x_{n-1} + x_{n-5} $)
№20. 38 46 226 234 414 (разница попеременно 8 и 180)
№21. 2 4 3 6 7 9 13 16 22 29 38 (как и в №19)
№22. 1 3 8 19 42 89 204 ($ x_n = 3 x_{n-1} - 2 x_{n-2} + 1 = 3 2^n - n + 2 $)
№23. 1 3 5 4 8 9 12 17 21 29 (как и в №19)
№24. 1 1 2 3 6 9 24 27 120 (чётные увеличиваются на линейно возрастающий множитель)
№25. 972 875 788 710 639 576 ($ x_n = x_{n-1} - [x_{n-1}/10] $)
№26. 343 536 373 839 404 142 (игра с цифрами, долго объяснять)
№27. 2 8 20 28 50 60? (маловато данных)

Остальное подумаю.

Первая часть...

[burivykh.livejournal.com]

1. Мне рассказали -- сам бы я это не взял.
2. Минус одна четверть, взят на игре. :)
3. Половина произведения двух предыдущих, 343
4. плюс k-умножить на k; 172, взят на игре.
7. Плюс сумма цифр предыдущего, 70
8. Это мне рассказали: произведение цифр предыдущего, 6.
9. Только сейчас дошло: сумма квадратов цифр предыдущего, 42.
10. Сумма трёх предыдущих, 57. Кажется, видел на игре, но уже со знанием, что его взяли.
11. Стучу себя по лбу, как же я не догадался... Мне после игры рассказали.
12. Плюс последовательные простые, 59.
13. Плюс произведение цифр предыдущего, 74. Что ж я его на игре-то не взял?
14. Сумма двух предыдущих плюс один, 54.
20. Произведение цифр у всех по 24, видимо, упорядочено по возрастанию, и цифры тоже; единица запрещена. Тогда -- 2223?
25. Минус число из первых двух цифр, 576
28. 1/2


P.S. Паша: 4 3 3 6 4 5 4 ? :-P

[burivykh.livejournal.com]

26 -- ты после игры упоминал про острова стабильности; это, часом, не оно?
Остальные -- думаю. :)

[gegmopo4.livejournal.com]

Дополнение, лёгкое, пропущенное вчера:

№5. 61 52 63 94 145 (разница возрастает линейно с шагом 20)
№15. 1 1 3 2 5 4 7 8 9 16 11 (попеременно степень двойки и линейная с шагом 2)
№18. 5 20 12 17 19 14 26 11 33 (попеременно линейные с шагом 7 и -3)

[gegmopo4.livejournal.com]

А-а-а, так там ещё и картинки! А я-то думаю, почему некоторые номера пропущены?

[gegmopo4.livejournal.com]

Картинки:

№2. Как уже упомянули, сумма бесконечного ряда расходится. Частная же сумма равна $ \sun_{n=1}^m (-1)^n n = ((-1)^m (2 m + 1) - 1) / 4 $ (как видно, предел при m→∞ не существует).
№28. 1/(1×3)+1/(3×5)+1/(5×7)+… = ((1/1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+…)/2 = 1/2

[gegmopo4.livejournal.com]

Заметил, что следующее число оканчивается на сумму последних цифр предыдущего (23 = 7+7+9, 8 = 2+2+3). Но что делать с остальными, неясно, возможно, это просто совпадение.